2014年三明事业单位考试行测数量关系宝典:剩余定理问题

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    公务员考试数学运算部分，我们常用到整除的思想，但是有些题目我们会发觉题目中的被除数不满足能被整除的条件，即有余数，有一类题目称为剩余问题，常见形式为一个数同时满足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质，求满足这样条件的数。对于这类题目我们在没有学习剩余定理之前往往只能采用枚举法来解决，而这种方法是比较繁琐的，在行测考试中时间对大家来说是重要的，因此掌握此种题型的解题方法对大家在做题准确率以及做题速度上都有很大帮助。下面结合具体的例子给大家做一详细的讲解。

    剩余问题的解法：

    1. 特殊情况

    (1)余同(余数相同)加余

    【例题1】某校二年级全部共3个班的学生排队，每排4人，5人或6人，后一排都只有2人，这个学校二年级有( )名学生。

    A.120 B.122 C.121 D.123

    【答案】B

    【解析】方法一：代入排除法(略)

    方法二：由题意可知该校二年级的学生人数除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此该班学生人数满足通项公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，当n=2时，N=122,选择B项。

    注：n前面的系数60是取4、5、6三个除数的小公倍数。

    (2)和同(除数和余数的和相同)加和

    【例题2】某个数除以5余3，除以6余2，除以7余1，求在0至500内满足这样的自然数有多少个?

    A.3 B.2 C.4 D.5

    【答案】A

    【解析】此题我们通过观察会发现除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……)因此在0至500以内满足题干条件的自然数有8,218,428三个数。

    注：n前面的系数210是取5、6、7三个除数的小公倍数。

    (3)差同(除数与余数之差相同)减差

    【例题3】三位运动员跨台阶，台阶总数在100-150级之间，位运动员每次跨3级台阶，后一步还剩2级台阶。第二位运动员每次跨4级台阶，后一步还剩3级台阶。第三位运动员每次跨5级台阶，后一步还剩4级台阶。问：这些台阶总共有多少级?

    A. 119 B. 121 C. 129 D. 131

    【答案】A

    【解析】方法一：代入排除法(略)。

    方法二：通过观察我们会发现除数与余数的差均为1，因此台阶数满足：N=60n-1(n=1,2,3……),可发现A项满足该通项公式。

    2.一般情况

    用同余特性解题

    【例题4】三位数的自然数P满足：除以3余2，除以7余3，除以11余4，则符合条件的自然数P有多少个?

    A.5 B. 4 C. 6 D. 7

    【答案】B

    【解析】此题不满足所给的条件不满足我们前面所讲的特殊情况，但是通过观察我们发现，P满足除以3余2，除以7余3两个条件时，在P的基础上加上4,即(P+4)这个数一定是能够被3整除以及被7整除的，因此(P+4)=21n，所以P=21n-4……①，得到的这个通项公式再与除以11余4进行找通项公式。该自然数P=21n-4=11a+4,等式左边都是被11除，等式左边的余数为10n-4,等式右边的余数为4，我们知道一个数被11除余4，也可以认为这个数被11除余15，或被11除余26等。根据同余特性可知，等式左边的余数10n-4应与等式右边的余数4,15,26等数值相等。因为n要取整数，所以取10n-4=26可以得到n=3代入①式得到P=59，所求的59这个数是满足题干三个条件的小数，所以，满足题干三个条件的数P=231n+59(n=1,2,3……)，所以在三位数以内的数有290,521,752,983四个数。选择B项。

    【例题5】一个自然数P同时满足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求满足这样条件的三位数共有多少个?

    A.10 B.11 C.12 D.13

    【答案】B

    【解析】先取其中两个条件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式两边同时除以3，等式左边的余数为n,等式右边的余数为1，即n=1,代入上式可知满足上述两个条件的小的数为7，则同时满足上述两条件的数的通项公式为P=12n+7……①，再将①式所得的条件与题干中除以7余4的条件组合成新的条件。即满足题干中三个条件的数P=12n+7=7b+4，等式两边同时除以未知数较小的系数7，则左边余数为5n，等式右边的余数是4，也可认为余数是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同时满足题干中三个条件的小的自然数P=67，则满足题干三个条件的数的通项公式为P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合题意的数共有11-1+1=11个数。

    在中国剩余问题的解决过程中，遇到一些余数较为特殊的情况下用剩余定理能够很好的解决，但是对于出现的和不同，差不同，余不同的情况下，可以用同余特性得到很好的解决。主要思路是先找满足题干中两个条件的通项公式，将三者条件转化成二者条件，然后再次利用同余特性加以解决即可。
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